«« Funciones Crecientes y Decrecientes »»

Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Si f es derivable en a:

Función creciente

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Si f es derivable en a:

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

f(x) = x³ − 3x + 2

1. Derivar la función.

f '(x) = 3x² −3

2. Calcular las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x² −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Se forman intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

4. Se toma un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.

f ' (-2) = 3(-2)² −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f ' (0) = 3(0)² −3 < 0

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f ' (2) = 3(2)² −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, −1)  (1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)

Problemas Propuestos

«« Criterio de la primera derivada para extremos relativos »»

Ejercicios resueltos

Problemas Propuestos

«« Concavidad y punto de inflexión »»

 

 

Los posibles puntos de inflexión se identifican despejando a x de la ecuación que resulta una vez se ha igualado la segunda derivada de la función a cero; o para los valores de x para los cuales la segunda derivada no existe.

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7, halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. Trace la gráfica y muestre un segmento de cada tangente de inflexión.

S o l u c i o n e s

x	f (x)	f '(x)	f ''(x)	Conclusión
			-	la gráfica de f es cóncava hacia abajo
	0	9	0	f tiene un punto de inflexión
			+	la gráfica de f es cóncava hacia arriba

x	f (x)	f '(x)	f ''(x)	Conclusión
			+	la gráfica de f es cóncava hacia arriba
	0	0	0	f tiene un punto de inflexión
			-	la gráfica de f es cóncava hacia abajo
	-256	-128	0	f tiene un punto de inflexión
			+	la gráfica de f es cóncava hacia arriba

En la tabla que sigue se resumen los resultados obtenidos:

x	f (x)	f '(x)	f ''(x)	Conclusión
			+	la gráfica de f es cóncava hacia arriba
	0	no existe	no existe	f tiene un punto de inflexión
			-	la gráfica de f es cóncava hacia abajo

Problemas Propuestos